2重積分極座標円、半径、三角関数(正弦と余弦)、累乗、内側と外側、底面、上面、立体、体積

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題12の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{a}^{a (1 + \cos θ)} (r \cos θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {[r^{3}]}_{a}^{a (1 + \cos θ)} \cos θ d θ \\ = \frac{a^{3}}{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} ({(1 + \cos θ)}^{3} - 1) \cos θ d θ \\ = \frac{a^{3}}{3} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 \cos^{2} θ + 3 \cos^{3} θ + \cos^{4} θ) d θ \\ = \frac{2 a^{3}}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 \cos^{2} θ + 3 \cos^{3} θ + \cos^{4} θ) d θ \\ = \frac{2 a^{3}}{3} (3 \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{3} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2}) \\ = \frac{2 a^{3}}{3} (\frac{3 π}{4} + 2 + \frac{3 π}{16}) \\ = \frac{2 a^{3}}{3} \cdot \frac{15 π + 32}{16} \\ = \frac{a^{3} (15 π + 32)}{24} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

a = 2

SphericalPlot3D[
    r Cos[θ] r,
    {θ, -Pi/2, Pi/2},
    {r, a, a(1+Cos[θ])}
]