数学のブログ

2重積分極座標円、半径、三角関数(正弦と余弦)、指数関数

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \iint_{x^{2} + y^{2} \leq a^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} dx dy \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} e^{- r^{2}} r d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} {[- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]}_{0}^{a} d θ \\ = - \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (e^{- a^{2}} - 1) d θ \\ = \frac{1}{2} (1 - e^{- a^{2}}) {[θ]}_{0}^{2 π} \\ = π (1 - e^{- a^{2}}) \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)], {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}]

Output