数学のブログ

2重積分極座標円、半径、三角関数(正弦と余弦)、指数関数、極限

続解析入門 (原書第2版)
楽天ブックス
Yahoo!ショッピング
au PAY マーケット
原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} dx dy \\ = \int_{0}^{2 π} \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} e^{- r^{2}} r d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} {[- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]}_{0}^{a} d r d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \lim_{a \to \infty} (1 - e^{- a^{2}}) d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} d θ \\ = \frac{1}{2} {[θ]}_{0}^{2 π} \\ = π \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)], {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

Output