数学のブログ

2重積分極座標円、半径、三角関数(正弦と余弦)、扇形

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題10の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{\frac{a}{\sqrt{2}}} \int_{y}^{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} x dx dy \\ = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{a} r (\cos θ) r d r d θ \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {[r^{3}]}_{0}^{a} \cos θ d θ \\ = \frac{a^{3}}{3} {[\sin θ]}_{0}^{\frac{π}{4}} \\ = \frac{a^{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ = \frac{a^{2}}{3 \sqrt{2}} \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

a = 2

Plot3D[
    x,
    {y, 0, a/Sqrt[2]},
    {x, y, Sqrt[a^2-y^2]},
    AxesLabel -> Automatic
]

Output