2重積分極座標円、半径、三角関数(正弦と余弦)、内側と外側

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題11の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{a}^{a (1 + \cos θ)} r d r d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {[r^{2}]}_{a}^{a (1 + \cos θ)} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} a^{2} (1 + 2 \cos θ + \cos^{2} θ - 1) d θ \\ = \frac{a^{2}}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (2 \cos θ + \cos^{2} θ) d θ \\ = a^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 \cos θ + \cos^{2} θ) d θ \\ = a^{2} (2 {[\sin θ]}_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}) \\ = a^{2} (2 + \frac{π}{4}) \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

a = 2

PolarPlot[{a (1 + Cos[θ]), a}, {θ, -Pi / 2, Pi / 2}]