2重積分極座標円盤、半径、三角関数(正弦と余弦)、累乗、指数関数

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題7の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \iint_{A} (x^{2} + y^{2}) e^{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} dy dx \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} ({(r \cos θ)}^{2} + {(r \cos θ)}^{2}) e^{{({(r \cos θ)}^{2} + {(r \sin θ)}^{2})}^{2}} r d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} r^{3} e^{r^{4}} d r d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} {[e^{r^{4}}]}_{0}^{1} d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} (e - 1) d θ \\ = \frac{1}{4} (e - 1) {[θ]}_{0}^{2 π} \\ = \frac{1}{2} π (e - 1) \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[
    (x^2+y^2) Exp[(x^2+y^2)^2],
    {x, -1.5, 1.5},
    {y, -1.5, 1.5},
    AxesLabel -> Automatic
]