2重積分極座標円の一部、半径、三角関数(余弦)、累乗

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題5の解答を求めてみる。

領域の図示。

この領域の上でのfの積分。

\begin{array}{l} \int_{0}^{π} \int_{1}^{\sqrt{2}} {(r \cos θ)}^{2} r d r d θ \\ = \int_{0}^{π} \int_{1}^{\sqrt{2}} r^{3} \cos^{2} θ d r d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} {[r^{4}]}_{1}^{\sqrt{2}} \cos^{2} θ d θ \\ = \frac{1}{4} (4 - 1) \int_{0}^{π} \cos^{2} θ d θ \\ = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} θ d θ \\ = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{3}{8} π \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot[{
    y >= 0 &&
    x^2+y^2 <= 2 &&
    x^2+y^2 >= 1},
    {x, -2, 2},
    {y, -2, 2}
]

Plot3D[x^2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]