数学のブログ

逆写像定理と陰関数定理 陰関数定理 開集合、凸ではない場合、反例、微分可能な実数値関数、偏導関数、勾配ベクトル、内積、単位ベクトル、定値関数

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.2(陰関数定理)、問題2の解答を求めてみる。

問題の図の開集合U上の関数を

f : U → ℝ y ≥ 1 f ( x , y ) = 0 y ≤ 1 x < 0 f ( x , y ) = ( y - 1 ) 2 x > 0 f ( x , y ) = - ( y - 1 ) 2

と定義すると、 これは微分可能な実数値関数である。

また、

D 1 f ( x , y ) = D x f ( x , y ) = 0

である。

そして、

y ≤ 1 x < 0 f ( x , 1 2 ) = 1 4 x > 0 f ( x , 1 2 ) = - 1 4

よって、yのみに依存していないので、 1の結論は成立していない。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[
    If[
        y < 1,
        If[
            x <= -1,
            If[
                y <= Sqrt[2^2-x^2],
                (y-1)^2,
                0
            ],
            If[
                -1 <= x <= 0,
                If[
                    y >= Sqrt[1-x^2],
                    (y-1)^2,
                    0
                ],
                If[
                    0 <= x <= 1,
                    If[
                        y >= Sqrt[1^2-x^2],
                        -(y-1)^2,
                        0
                    ],
                    If[
                        y <= Sqrt[2^2-x^2],
                        -(y-1)^2,
                        0
                    ]
                ]
            ]
        ],
        0
    ],
    {x, -2, 2},
    {y, 0, 2},
    AxesLabel -> Automatic,
    BoxRatios -> {4, 2, 2}
]
Output