逆写像定理と陰関数定理陰関数定理可逆、近傍、ヤコビ行列、逆行列

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.2(陰関数定理)、問題3の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} f (a, b) \\ = f (1, 0, 3, - 2, 7) \\ = (1 - 4 + 3, - 4 + 3 + 15 - 14) \\ = (0, 0) \end{array}

また、

\begin{array}{l} J_{f} = [\begin{matrix} e^{x_{2}} & x_{1} e^{x_{2}} - y_{1} & - x_{2} & 2 & 0 \\ - 4 & 3 e^{x_{2}} & 5 & 0 & - 2 \end{matrix}] \\ L = f' (a, b) \\ = [\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 3 & 5 & 0 & - 2 \end{matrix}] \\ L_{x} = [\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 4 & 3 \end{matrix}] \\ L_{y} = [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & - 2 \end{matrix}] \end{array}

よって、

\det L_{x} = 3 - 8 \neq 0

ゆえに、

L_{x}

は可逆である。

\begin{array}{l} J_{b} (b) \\ = - {[\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 4 & 3 \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & - 2 \end{matrix}] \\ = - \frac{1}{- 5} [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & - 2 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{5} [\begin{matrix} 10 & 6 & - 4 \\ 5 & 8 & - 2 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 2 & \frac{6}{5} & - \frac{4}{5} \\ 1 & \frac{8}{5} & - \frac{2}{5} \end{matrix}] \end{array}