逆写像定理と陰関数定理陰関数定理可逆、近傍、ヤコビ行列、逆行列、三角関数(正弦と余弦)、指数関数

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.2(陰関数定理)、問題4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} f (a, b) \\ = f (0, 0, 1, 2, 5) \\ = (1 + 1 + 8 - 10, 4 + 6 - 10, 1 + 4 - 5) \\ = (0, 0, 0) \end{array}

また、

\begin{array}{l} J_{f} = [\begin{matrix} e^{x_{1}} \cos x_{2} & - e^{x_{1}} \sin x_{2} & \cos x_{2} & 4 & - 2 \\ 4 e^{x_{1}} & y_{1} \cos x_{2} & 0 & 3 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}] \\ L = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 4 & - 2 \\ 4 & 2 & 0 & 3 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}] \\ L_{x} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ L_{y} = [\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 3 & - 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}] \end{array}

よって、

\det L_{x} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = 2 \neq 0

ゆえに、

L_{x}

は可逆である。

\begin{array}{l} J_{g} (b) \\ = - {[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 3 & - 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}] \\ = - \frac{1}{2} [\begin{matrix} 2 & 0 & - 2 \\ - 4 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 3 & - 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}] \\ = - \frac{1}{2} [\begin{matrix} 4 & - 4 \\ - 5 & 6 \\ 4 & 0 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - 2 & 2 \\ \frac{5}{2} & - 3 \\ - 2 & 0 \end{matrix}] \end{array}