逆写像定理と陰関数定理陰関数定理凸開集合、微分可能な実数値関数、偏導関数、勾配ベクトル、内積、単位ベクトル、定値関数

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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.2(陰関数定理)、問題1の解答を求めてみる。

凸開集合Uの任意の元

x, x + t e_{1} \in U

に対して、

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial t} f (x + t e_{1}) \\ = g r a d f (x + t e_{1}) \cdot e_{1} \\ = D_{1} f (x + t e_{1}) \end{array}

仮をより、

D_{1} f (x + t e_{1}) = 0

よって、 tの関数

f (x + t e_{1})

は定数である。

ゆえに、

\begin{array}{l} f (x + 0 e_{1}) = f (x + t e_{1}) \\ f (x) = f (x + t e_{1}) \end{array}

以上により

f (x)

は

\begin{array}{l} x_{i} \\ (i = 2, \dots, n) \end{array}

のみに依存する。

（証明終）