逆写像定理と陰関数定理 陰関数定理 ヤコビ行列、階数、値域 解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) 楽天ブックス Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) 解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.2(陰関数定理)、問題5の解答を求めてみる。 ∂ f 1 ∂ x = 2 x ( x 2 + y 2 ) - ( x 2 - y 2 ) 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y 2 + 2 x y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 ∂ f 1 ∂ y = - 2 y ( x 2 + y 2 ) - ( x 2 - y 2 ) 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 = - 4 x 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 ∂ f 2 ∂ x = y ( x 2 + y 2 ) - x y 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 = - x 2 y + y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 ∂ f 2 ∂ y = x ( x 2 + y 2 ) - x y z y ( x 2 + y 2 ) 2 = x 3 - x y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 よって、 1 x 2 + y 2 [ 2 x y 2 + 2 x y 2 - 4 x 2 y - x 2 y + y 3 x 3 - x y 2 ] [ 2 x 2 y 2 + 2 x 2 y 2 - 4 x 2 y 2 - x 3 y + x y 3 x 3 y - x y 3 ] = [ 4 x 2 y 2 - 4 x 2 y 2 - x 3 y + x y 3 x 3 y - x y 3 ] [ 4 x 2 y 2 0 - x 3 y + x y 3 0 ] [ 4 x 2 y 2 0 0 0 ] ゆえに、 f ' ( x , y ) の階数は1。またf の値域は、 u = x 2 - y 2 x 2 + y 2 v = x y x 2 + y 2 x 2 = - u + 1 u - 1 y 2 v 2 = x 2 y 2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 ( ( u + 1 u - 1 ) 2 y 4 - 2 u + 1 u - 1 y 4 + y 4 ) v 2 = - u + 1 u - 1 y 4 ( ( u + 1 u - 1 ) 2 - 2 ( u + 1 ) u - 1 + 1 ) v 2 = - u + 1 u - 1 ( u 2 + 2 u + 1 - 2 u 2 + 2 + u 2 - 2 u + 1 ) v 2 = - u 2 + 1 4 v 2 = - u 2 + 1 u 2 + 4 v 2 = 1 よって楕円。
