数学のブログ

逆写像定理と陰関数定理 逆写像定理 値域、局所的にC1可逆、行列式、単射、近傍、可逆、ヤコビ行列

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.1(逆写像定理)、問題2の解答を求めてみる。

a

ℝ 2 \ { ( 0 , 0 ) }

b

det [ ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ] = det [ e x cos y - e x sin y e x sin y e x cos y ] = e 2 x ( cos 2 y + sin 2 y ) = e 2 x > 0

よって、fはすべての点で局所的に

C 1

可逆である。

また、

f ( 0 , 0 ) = ( 1 , 0 ) f ( 0 , 2 π ) = ( 1 , 0 )

なので、fは

ℝ 2

で1対1ではない。

c

{ f 1 ( x , y ) = e x cos y f 2 ( x , y ) = e x sin y
f 1 ( x , y ) 2 = e 2 x cos 2 y f 2 ( x , y ) 2 = e 2 x sin 2 y f 1 ( x , y ) 2 + f 2 ( x , y ) 2 = e 2 x log ( f 1 ( x , y ) 2 + f 2 ( x , y ) 2 ) = 2 x x = 1 2 log ( f 1 ( x , y ) 2 + f 2 ( x , y ) 2 ) f 2 ( x , y ) f 1 ( x , y ) = tan y y = arctan f 2 ( x , y ) f 1 ( x , y ) g ( u , v ) = ( 1 2 log ( u 2 + v 2 ) , arctan v u )

行列について。

J f ( x , y ) = [ e x cos y - e x sin y e x sin y e x cos y ] J g ( u , v ) = [ u u 2 + v 2 v u 2 + v 2 - v u 2 + v 2 u u 2 + v 2 ]
J f ( a ) = J f ( 0 , π 6 ) = [ 3 2 - 1 2 1 2 3 2 ] J g ( b ) = J g ( f ( a ) ) = J g ( 3 2 , 1 2 ) = [ 3 2 1 2 - 1 2 3 2 ] J f ( a ) J g ( b ) = [ 1 0 0 1 ]

よって、両者は互いに逆行列である。

d

x軸に平行な直線

y = a

について。

f ( x , a ) = ( e x cos a , e x sin a ) = e x ( cos a , sin a )

よって、 像は傾き

tan a

の直線。

y軸に平行な直線について。

x = a f ( a , y ) = ( e a cos y , e a sin y ) = e a ( cos y , sin y )

よって、 像は原点を中心とする半径

e a

の円。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[
    {Exp[x] Cos[y], Exp[x] Sin[y]},
    {x, -Pi, Pi},
    {y, -Pi, Pi},
    AxesLabel -> Automatic
]
Output