数学のブログ

逆写像定理と陰関数定理 逆写像定理 値域、局所的にC1可逆、行列式、単射、近傍、可逆、ヤコビ行列、軸に平行な直線の像、放物線

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.1(逆写像定理)、問題4の解答を求めてみる。

a

y = u - x v = x 2 + ( u - x ) 2 = x 2 + u 2 - 2 u x + x 2 = 2 x 2 - 2 u x + u 2 = 2 ( x 2 - u x ) + u 2 = 2 ( x - 1 2 u ) 2 + u 2 - 1 2 u 2 = 2 ( x - 1 2 u ) 2 + 1 2 u 2

よって、 fの値域は

v ≥ 1 2 u 2

b

det [ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ] = det [ 1 1 2 x 2 y ] = 2 y - 2 x = 2 ( y - x )

よって、

x ≠ y

で局所的に

C 1

可逆である。

また、

f ( 1 , 0 ) = ( 1 , 1 ) f ( 0 , 1 ) = ( 1 , 1 )

なので

ℝ 2

全体では1対1ではない。

c

f ( a ) = f ( 1 , - 1 ) = ( 0 , 2 ) = b

また、

y = u - x v = x 2 + ( u - x ) 2 2 x 2 - 2 u x + u 2 - v = 0 x = u + u 2 - 2 ( u 2 - v ) 2 = u + 2 v - u 2 2 y = u - u + 2 v - u 2 2 = u - 2 v - u 2 2

よって bの近傍におけるfの逆写像gは、

g ( u , v ) = ( u + 2 v - u 2 2 , u - 2 v - u 2 2 )

行列 について。

J f ( 1 , 1 ) = [ 1 1 2 - 2 ] ∂ x ∂ u = 1 2 ( 1 - u 2 v - u 2 ) ∂ x ∂ v = 1 2 · 1 2 v - u 2 ∂ y ∂ u = 1 2 ( 1 + u 2 v - u 2 ) ∂ y ∂ v = 1 2 · - 1 2 v - u 2 J g ( 0 , 2 ) = [ 1 2 1 4 1 2 - 1 4 ]

積。

J f ( 1 , 1 ) J g ( 0 , 2 ) = [ 1 0 0 1 ]

よって、 両者は互いに逆行列である。

d

x 軸に平行な直線

y = a

のfによる像。

f ( x , a ) = ( x + a , x 2 + a 2 )

y軸に平行な直線

x = a

の fによる像。

f ( a , y ) = ( a + y , a 2 + y 2 )

よって放物線。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[{x+y, x^2+y^2}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
       AxesLabel -> Automatic,
       BoxRatios -> {4, 4, 12}]
Output