数学のブログ

逆写像定理と陰関数定理逆写像定理値域、局所的にC1可逆、行列式、単射、近傍、可逆、ヤコビ行列、放物線

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第17章(逆写像定理と陰関数定理)、17.1(逆写像定理)、問題3の解答を求めてみる。

a

\begin{array}{l} u^{2} + v^{2} \\ = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2} \\ = x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} \\ = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + 4^{4} \\ = {(x^{2} + y^{2})}^{2} \end{array}

よって値域は

ℝ^{2}

b

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{matrix}] \\ = \det [\begin{matrix} 2 x & - 2 y \\ 2 y & 2 x \end{matrix}] \\ = 4 x^{2} + 4 y^{2} \\ = 4 (x^{2} + y^{2}) \\ \geq 0 \end{array}

よって、 fは原点以外で局所的に

C^{1}

可逆である。

また、

\begin{array}{l} f (1, 1) = (0, 2) \\ f (- 1, - 1) = (0, 2) \end{array}

なので、

ℝ^{2}

全体では1対1 ではない。

c

f (1, 1) = (0, 2)

\begin{array}{l} x = \frac{v}{2 y} \\ u = \frac{v^{2}}{2 y^{2}} - y^{2} \\ 2 u y^{2} = v^{2} - 2 y^{4} \\ 2 y^{4} + 2 u y^{2} - v^{2} = 0 \\ y^{2} = \frac{- u + \sqrt{u^{2} + v^{2}}}{2} \\ y = \sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - u}{2}} \\ x = \frac{v}{2} \sqrt{\frac{2}{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - u}} \\ = \sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}{2}} \end{array}

よって、bの近傍におけるfの逆写像gは

g (u, v) = (\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - u}{2}})

ヤコビ行列について。

\begin{array}{l} J_{f} (x, y) \\ = [\begin{matrix} 2 x & - 2 y \\ 2 y & 2 x \end{matrix}] \\ \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}{2}}} \cdot \frac{1}{2} (\frac{u}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} + 1) \\ = \frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}} \cdot \frac{u + \sqrt{u^{2} + v^{2}}}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}}{4 \sqrt{u^{2} + v^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}}{2 \sqrt{2} \sqrt{u^{2} + v^{2}}} \\ \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2 \sqrt{2} \sqrt{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + u}} \cdot \frac{v}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} \\ \frac{\partial y}{\partial u} = - \frac{\sqrt{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - u}}{2 \sqrt{2} \sqrt{u^{2} + v^{2}}} \\ \frac{\partial y}{\partial v} = \frac{v}{2 \sqrt{2} \sqrt{u^{2} + v^{2}}} \\ J_{g} (u, v) = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix}] \end{array}

よって、

\begin{array}{l} f' (a) = [\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}] \\ g' (b) = [\begin{matrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix}] \\ f' (a) g' (b) = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

ゆえに、両者は互いに逆行列である。

d

x軸に平行な直線

y = a

のfによる像について。

f (x, a) = (x^{2} - a^{2}, 2 a x)

よって放物線。

y軸に平行な直線

x = a

のfによる像について。

f (a, y) = (a^{2} - y^{2}, 2 a y)

よって放物線。

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[{x^2-y^2,2x y}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

Output