行列式 4次、正方行列、方程式、解

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手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、8(行列式)、基本問題の問8.2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \det [\begin{matrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{matrix}] \\ = a \det [\begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix}] - \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix}] + \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix}] - \det [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{matrix}] \\ = a ((a^{3} + 1 + 1) - (a + a + a)) \\ - ((a^{2} + 1 + 1) - (1 + a + a)) \\ + ((a + 1 + a) - (1 + a^{2} + 1)) \\ - ((1 + 1 + a^{2}) - (a + a + 1)) \\ = a (a^{3} - 3 a + 2) - a^{2} + 2 a - 1 - a^{2} + 2 a - 1 - a^{2} + 2 a - 1 \\ = a^{4} - 6 a^{2} + 8 a - 3 \\ = (a - 1) (a^{3} + a^{2} - 5 a + 3) \\ = (a - 1) (a + 3) (a^{2} - 2 a + 1) \\ = {(a - 1)}^{3} (a + 3) \end{array}

よって、求めるaの値は、

a = - 3, 1