数学のブログ

行列式 成分が微分可能な関数の行列の行列式の微分

手を動かしてまなぶ 線形代数 (藤岡 敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、8(行列式)、チャレンジ問題の問8.8の解答を求めてみる。

d dx det A ( x ) = d dx σ S n ( s g n ( σ ) ) k = 1 n a k σ ( k ) ( x ) = σ S n ( s g n ( σ ) ) k = 1 n a 1 σ ( 1 ) ( x ) a ( k - 1 ) σ ( k - 1 ) ( x ) d dx ( a k σ ( k ) ( x ) ) a ( k + 1 ) σ ( k + 1 ) ( x ) . . . a n σ ( n ) ( x ) = j = 1 n σ S n s g n ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ( x ) . . . a ( j - 1 ) σ ( j - 1 ) ( x ) d dx ( a j σ ( j ) ( x ) ) a ( j + 1 ) σ ( j + 1 ) ( x ) a n σ ( n ) ( x ) = j = 1 n det B j ( x )