行列式成分が微分可能な関数の行列の行列式の微分

学習環境

手を動かしてまなぶ線形代数 (藤岡敦(著)、裳華房)の第3章(行列式)、8(行列式)、チャレンジ問題の問8.8の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \frac{d}{dx} \det A (x) \\ = \frac{d}{dx} \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ)) \prod_{k = 1}^{n} a_{k σ (k)} (x) \\ = \sum_{σ \in S_{n}} (s g n (σ)) \sum_{k = 1}^{n} a_{1 σ (1)} (x) \dots a_{(k - 1) σ (k - 1)} (x) \frac{d}{dx} (a_{k σ (k)} (x)) a_{(k + 1) σ (k + 1)} (x) . . . a_{n σ (n)} (x) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{σ \in S_{n}} s g n (σ) a_{1 σ (1)} (x) . . . a_{(j - 1) σ (j - 1)} (x) \frac{d}{dx} (a_{j σ (j)} (x)) a_{(j + 1) σ (j + 1)} (x) \dots a_{n σ (n)} (x) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \det B_{j} (x) \end{array}