数学のブログ

空間と連続写像連続写像と同相写像直積、距離空間、全単射、位相同形

トポロジー入門
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学習環境

トポロジー入門 (松本幸夫(著)、岩波書店)の第1章(空間と連続写像)、4(連続写像と同相写像)の演習問題4.1の解答を求めてみる。

直積

X \times Y

の任意の元

\begin{array}{l} a = (x_{1}, y_{1}) \\ b = (x_{2}, y_{2}) \\ c = (x_{3}, y_{3}) \end{array}

に対して、

\begin{array}{l} d' (a, a) \\ = d_{X} (x_{1}, x_{1}) + d_{Y} (y_{1}, y_{1}) \\ = 0 + 0 \\ = 0 \end{array}

また、

\begin{array}{l} d' (a, b) \\ = d_{X} (x_{1}, x_{2}) + d_{Y} (y_{1}, y_{2}) \\ \geq 0 + 0 \\ = 0 \end{array}

対称律について、

\begin{array}{l} d' (a, b) \\ = d_{X} (x_{1}, x_{2}) + d_{Y} (y_{1}, y_{2}) \\ = d_{X} (x_{2}, x_{1}) + d_{Y} (y_{2}, y_{1}) \\ = d' (b, a) \end{array}

三角不等式について。

\begin{array}{l} d' (a, b) + d' (b, c) \\ \leq (d_{X} (x_{1}, x_{2}) + d_{Y} (y_{1}, y_{2})) + (d_{X} (x_{2}, x_{3}) + d_{Y} (y_{2}, y_{3})) \\ = (d_{X} (x_{1}, x_{2}) + d_{X} (x_{2}, x_{3})) + (d_{Y} (y_{1}, y_{2}) + d_{Y} (y_{2}, y_{3})) \\ \leq d_{X} (x_{1}, x_{3}) + d_{Y} (y_{1}, y_{3}) \\ = d' (a, c) \end{array}

よって、

d'

は直積

X \times Y

上の距離である。

写像fを

\begin{array}{l} f : X \times Y \to X \times Y \\ f (x, y) = i d_{X \times Y} (x, y) = (x, y) \end{array}

と定める。

このとき、fは全単射である。

任意の元

(x_{0}, y_{0}) \in X \times Y

に対して、

ε > 0

の任意の正の実数とすると、

d ((x, x_{0}), (y, y_{0})) < \frac{1}{2} ε

ならば、

\begin{array}{l} \sqrt{d_{X} {(x, x_{0})}^{2} + d_{Y} {(y, y_{0})}^{2}} < \frac{1}{2} ε \\ \sqrt{d_{X} {(x, x_{0})}^{2}} < \frac{1}{2} ε \\ d_{X} (x, x_{0}) < \frac{1}{2} ε \end{array}

同様に、

d_{Y} (y, y_{0}) < \frac{1}{2} ε

よって、

\begin{array}{l} d' (f (x, y), f (x_{0}, y_{0})) \\ = d' ((x, y), (x_{0}, y_{0})) \\ = d_{X} (x, x_{0}) + d_{Y} (y, y_{0}) \\ < \frac{1}{2} ε + \frac{1}{2} ε \\ = ε \end{array}

ゆえに、 fは連続である。

また、

d' ((x, x_{0}), (y, y_{0})) < \frac{ε}{\sqrt{2}}

ならば、

\begin{array}{l} d_{X} (x, x_{0}) + d_{Y} (y, y_{0}) < \frac{ε}{\sqrt{2}} \\ d_{X} (x, x_{0}) < \frac{ε}{\sqrt{2}} \\ d_{Y} (y, y_{0}) < \frac{ε}{\sqrt{2}} \end{array}

なので、

\begin{array}{l} d (f^{- 1} (x, y), f^{- 1} (x_{0}, y_{0})) \\ = d ((x, y), (x_{0}, y_{0})) \\ = \sqrt{d_{X} {(x, x_{0})}^{2} + d_{Y} {(y, y_{0})}^{2}} \\ < \sqrt{{(\frac{ε}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{ε}{\sqrt{2}})}^{2}} \\ = ε \end{array}

よって、 fの逆写像は連続である。

ゆえに、 2つの距離空間は位相同形である。

(X \times Y, d) \approx (X \times Y, d')

（証明終）