数学のブログ

空間と連続写像 連続写像と同相写像 直積、距離空間、全単射、位相同形

トポロジー入門 (松本 幸夫(著)、岩波書店)の第1章(空間と連続写像)、4(連続写像と同相写像)の演習問題4.1の解答を求めてみる。

直積

X × Y

の任意の元

a = ( x 1 , y 1 ) b = ( x 2 , y 2 ) c = ( x 3 , y 3 )

に対して、

d ' ( a , a ) = d X ( x 1 , x 1 ) + d Y ( y 1 , y 1 ) = 0 + 0 = 0

また、

d ' ( a , b ) = d X ( x 1 , x 2 ) + d Y ( y 1 , y 2 ) ≥ 0 + 0 = 0

対称律について、

d ' ( a , b ) = d X ( x 1 , x 2 ) + d Y ( y 1 , y 2 ) = d X ( x 2 , x 1 ) + d Y ( y 2 , y 1 ) = d ' ( b , a )

三角不等式について。

d ' ( a , b ) + d ' ( b , c ) ≤ ( d X ( x 1 , x 2 ) + d Y ( y 1 , y 2 ) ) + ( d X ( x 2 , x 3 ) + d Y ( y 2 , y 3 ) ) = ( d X ( x 1 , x 2 ) + d X ( x 2 , x 3 ) ) + ( d Y ( y 1 , y 2 ) + d Y ( y 2 , y 3 ) ) ≤ d X ( x 1 , x 3 ) + d Y ( y 1 , y 3 ) = d ' ( a , c )

よって、

d '

は直積

X × Y

上の距離である。

写像fを

f : X × Y → X × Y f ( x , y ) = i d X × Y ( x , y ) = ( x , y )

と定める。

このとき、fは 全単射である。

任意の元

( x 0 , y 0 ) ∈ X × Y

に対して、

ε > 0

の任意の正の実数とすると、

d ( ( x , x 0 ) , ( y , y 0 ) ) < 1 2 ε

ならば、

d X ( x , x 0 ) 2 + d Y ( y , y 0 ) 2 < 1 2 ε d X ( x , x 0 ) 2 < 1 2 ε d X ( x , x 0 ) < 1 2 ε

同様に、

d Y ( y , y 0 ) < 1 2 ε

よって、

d ' ( f ( x , y ) , f ( x 0 , y 0 ) ) = d ' ( ( x , y ) , ( x 0 , y 0 ) ) = d X ( x , x 0 ) + d Y ( y , y 0 ) < 1 2 ε + 1 2 ε = ε

ゆえに、 fは連続である。

また、

d ' ( ( x , x 0 ) , ( y , y 0 ) ) < ε 2

ならば、

d X ( x , x 0 ) + d Y ( y , y 0 ) < ε 2 d X ( x , x 0 ) < ε 2 d Y ( y , y 0 ) < ε 2

なので、

d ( f - 1 ( x , y ) , f - 1 ( x 0 , y 0 ) ) = d ( ( x , y ) , ( x 0 , y 0 ) ) = d X ( x , x 0 ) 2 + d Y ( y , y 0 ) 2 < ( ε 2 ) 2 + ( ε 2 ) 2 = ε

よって、 fの逆写像は連続である。

ゆえに、 2つの距離空間は位相同形である。

( X × Y , d ) ≈ ( X × Y , d ' )

（証明終）