数学のブログ

空間と連続写像 ユークリッド空間と距離空間 距離空間、平面、ユークリッド距離、図形による表現

トポロジー入門 (松本 幸夫(著)、岩波書店)の第1章(空間と連続写像)、3(ユークリッド空間と距離空間)の演習問題3.2の解答を求めてみる。

p 1 , p 2 ∈ E 2

を

p 1 = ( 0 , 0 ) p 2 = ( 0 , d X ( x 1 , x 2 ) )

とおく。

また、三角不等式より、

d X ( p 1 , p 2 ) ≤ d X ( p 1 , p 3 ) + d X ( p 2 , p 3 )

なので、

p 3 ∈ E 2

を

d ( p 1 , p 3 ) = d X ( x 1 , x 3 ) d ( p 2 , p 3 ) = d X ( x 2 , x 3 )

を満たすようにとることができる。

この

p 1 , p 2 , p 3 ∈ E 2

に対して、

d ( p i , p j ) = d X ( x i , x j )

が成り立つ。