空間と連続写像 ユークリッド空間と距離空間 距離の定義、非負、可換律、三角不等式、コーシー・シュバルツの不等式、内積、絶対値 トポロジー入門 楽天 Yahoo!ショッピング au PAY マーケット 学習環境 Surface Windows 10 Pro (OS) Nebo(Windows アプリ) iPad MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iPadOS)) ハンズ・オン・スタートMathematica® -Wolfram言語™によるプログラミング(参考書籍) Pythonからはじめる数学入門(参考書籍) トポロジー入門 (松本 幸夫(著)、岩波書店)の第1章(空間と連続写像)、3(ユークリッド空間と距離空間)の演習問題3.1の解答を求めてみる。 定義の（i）について。定義より、 d ( a , a ' ) = d X ( x , x ' ) 2 + d Y ( y , y ' ) 2 ≥ 0 また、 d ( a , a ' ) = 0 ⇔ d X ( x , x ' ) 2 + d Y ( y , y ' ) 2 = 0 ⇔ d X ( x , x ' ) 2 = 0 ∧ d Y ( y , y ' ) 2 = 0 ⇔ d X ( x , x ' ) = 0 ∧ d Y ( y , y ' ) = 0 ⇔ x = x ' ∧ y = y ' ⇔ a = b 可換律について。 d ( a , a ' ) = d X ( x , x ' ) 2 + d Y ( y , y ' ) 2 = d X ( x ' , x ) 2 + d Y ( y ' , y ) 2 = d ( b , b ' ) 三角不等式について。任意の a , b , c ∈ X × Y a = ( x 1 , y 1 ) b = ( x 2 , y 2 ) c = ( x 3 , y 3 ) に対して、 d ( a , c ) 2 = d X ( x 1 , x 3 ) 2 + d Y ( y 1 , y 3 ) 2 ≤ ( d X ( x 1 , x 2 ) + d X ( x 2 , x 3 ) ) 2 + ( d Y ( y 1 , y 2 ) + d Y ( y 2 , y 3 ) ) 2 = d X ( x 1 , x 2 ) 2 + 2 d X ( x 1 , x 2 ) d X ( x 2 , x 3 ) + d X ( x 2 , x 3 ) 2 + d Y ( y 1 , y 2 ) 2 + 2 d Y ( y 1 , y 2 ) d Y ( y 2 , y 3 ) + d Y ( y 2 , y 3 ) 2 = d X ( x 1 , x 2 ) 2 + d Y ( y 1 , y 2 ) 2 + d X ( x 2 , x 3 ) 2 + d Y ( y 2 , y 3 ) 2 + 2 ( d X ( x 1 , x 2 ) , d Y ( y 1 , y 2 ) ) · ( d X ( x 2 , x 3 ) , d Y ( y 2 , y 3 ) ) ≤ d X ( x 1 , x 2 ) 2 + d Y ( y 1 , y 2 ) 2 + d X ( x 2 , x 3 ) 2 + d Y ( y 2 , y 3 ) 2 + 2 | ( d X ( x 1 , x 2 ) , d Y ( y 1 , y 2 ) ) | | ( d X ( x 2 , x 3 ) , d Y ( y 2 , y 3 ) ) | = d X ( x 1 , x 2 ) 2 + d Y ( y 1 , y 2 ) 2 + d X ( x 2 , x 3 ) 2 + d Y ( y 2 , y 3 ) 2 + 2 d X ( x 1 , x 2 ) 2 + d Y ( y 1 , y 2 ) 2 d X ( x 2 , x 3 ) 2 + d Y ( y 2 , y 3 ) 2 = ( d X ( x 1 , x 2 ) 2 + d Y ( y 1 , y 2 ) 2 + d X ( x 2 , x 3 ) 2 + d Y ( y 2 , y 3 ) 2 ) 2 = ( d ( a , b ) + d ( b , c ) ) 2 よって、 両辺の平方根を考えれば、 d ( a , c ) ≤ d ( a , b ) + d ( b , c )
