確からしさをみる - 確率条件つき確率と確率の乗法定理重複試行の確率 7回勝負、勝率、排反事象

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.2(条件つき確率と確率の乗法定理)、重複試行の確率の問32の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \sum_{X \in {A, B, C, D}} P (X) \\ = {(\frac{1}{2})}^{4} (1 + 4 (1 - \frac{1}{2}) + 10 {(1 - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(1 - \frac{1}{2})}^{3}) \\ = {(\frac{1}{2})}^{4} (1 + 4 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 20 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}) \\ = \frac{8 + 16 + 20 + 20}{2^{7}} \\ = \frac{64}{2^{7}} \\ = \frac{1}{2} \\ = 0.5 \end{array}

また、

\begin{array}{l} \sum_{X \in {A, B, C, D}} P (X) \\ = {(\frac{3}{10})}^{4} \cdot (1 + 4 \cdot \frac{7}{10} + 10 \cdot {(\frac{7}{10})}^{2} + 20 \cdot {(\frac{7}{10})}^{3}) \\ = \frac{3^{4} (1 0^{3} + 28 \cdot 1 0^{2} + 7^{2} \cdot 1 0^{2} + 20 \cdot 7^{3})}{1 0^{7}} \\ = \frac{3^{4} (1 0^{2} + 28 \cdot 10 + 7^{2} \cdot 10 + 2 \cdot 7^{3})}{1 0^{6}} \\ = \frac{81 (10 \cdot 5 + 14 \cdot 10 + 7^{2} \cdot 5 + 7^{3})}{1 0^{5} \cdot 5} \\ = \frac{81 (10 \cdot 5 + 7 (20 + 35 + 49))}{1 0^{5} \cdot 5} \\ = \frac{81 (50 + 7 \cdot 104)}{1 0^{5} \cdot 5} \\ = \frac{81 (25 + 7 \cdot 52)}{1 0^{4} \cdot 5^{2}} \\ = \frac{81 (25 + 364)}{250000} \\ = \frac{81 \cdot 389}{250000} \\ = \frac{31509}{250000} \\ \approx 0.126 \end{array}