確からしさをみる - 確率条件つき確率と確率の乗法定理重複試行の確率硬貨、表裏、組合せ

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.2(条件つき確率と確率の乗法定理)、重複試行の確率の問33の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{6} {(\frac{1}{2})}^{4} \\ = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{2^{10}} \\ = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2^{10}} \\ = \frac{10 \cdot 3 \cdot 7}{2^{10}} \\ = \frac{5 \cdot 3 \cdot 7}{2^{9}} \\ = \frac{105}{512} \end{array}

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} \\ = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2^{10}} \\ = \frac{3 \cdot 7 \cdot 3}{2^{8}} \\ = \frac{63}{256} \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{k = 0}^{3} (\begin{matrix} 10 \\ k \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{k} {(\frac{1}{2})}^{10 - k} \\ = \frac{1}{2^{10}} + 10 \cdot \frac{1}{2^{10}} + \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{1}{2^{10}} + \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2^{10}} \\ = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{2^{10}} \\ = \frac{176}{2^{10}} \\ = \frac{11}{64} \end{array}