数学のブログ

確からしさをみる - 確率 条件つき確率と確率の乗法定理 確率と数列 漸化式、等比数列、初項、公比

新装版 数学読本4 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.2(条件つき確率と確率の乗法定理)、確率と数列の問37の解答を求めてみる。

点Pが頂点Bにくる確率について。

n - 1

回硬貨を投げたとき点Pが頂点Aにある確率を

q n - 1

頂点Cにある確率を

r n - 1

とおくと、 n回硬貨を投げたとき点Pが頂点Bにある確率は、

p n = 1 2 q n - 1 + 1 2 r n - 1 = 1 2 ( q n - 1 + r n - 1 )

また、 余事象を考えれば、

p n - 1 = 1 - ( q n - 1 + r n - 1 )

よって、

p n = 1 2 ( 1 - p n - 1 ) = - 1 2 p n - 1 + 1 2

という斬化式が成り立つ。

x = - 1 2 x + 1 2 x = 1 3

より、

p n - 1 3 = - 1 2 ( p n - 1 - 1 3 )

よって、

p n - 1 3

は初項

p 1 - 1 3 = 1 2 - 1 3 = 1 6

公比

- 1 2

の等比数列なので、 求める確率は、

p n - 1 3 = 1 6 ( - 1 2 ) n - 1 p n = 1 6 ( 2 + ( - 1 2 ) n - 1 )

点Pが頂点Cにくる確率も同様にして、

1 6 ( 2 + ( - 1 2 ) n - 1 )