確からしさをみる - 確率条件つき確率と確率の乗法定理確率と数列漸化式、等比数列、初項、公比

学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.2(条件つき確率と確率の乗法定理)、確率と数列の問37の解答を求めてみる。

点Pが頂点Bにくる確率について。

n - 1

回硬貨を投げたとき点Pが頂点Aにある確率を

q_{n - 1}

頂点Cにある確率を

r_{n - 1}

とおくと、 n回硬貨を投げたとき点Pが頂点Bにある確率は、

\begin{array}{l} p_{n} = \frac{1}{2} q_{n - 1} + \frac{1}{2} r_{n - 1} \\ = \frac{1}{2} (q_{n - 1} + r_{n - 1}) \end{array}

また、余事象を考えれば、

p_{n - 1} = 1 - (q_{n - 1} + r_{n - 1})

よって、

\begin{array}{l} p_{n} = \frac{1}{2} (1 - p_{n - 1}) \\ = - \frac{1}{2} p_{n - 1} + \frac{1}{2} \end{array}

という斬化式が成り立つ。

\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{3} \end{array}

より、

p_{n} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (p_{n - 1} - \frac{1}{3})

よって、

p_{n} - \frac{1}{3}

は初項

\begin{array}{l} p_{1} - \frac{1}{3} \\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ = \frac{1}{6} \end{array}

公比

- \frac{1}{2}

の等比数列なので、求める確率は、

\begin{array}{l} p_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \\ p_{n} = \frac{1}{6} (2 + {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}) \end{array}

点Pが頂点Cにくる確率も同様にして、

\frac{1}{6} (2 + {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})