数学のブログ

確からしさをみる - 確率条件つき確率と確率の乗法定理確率と数列ポリアの壺、白球と黒球、操作、追加、増加

新装版数学読本4
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学習環境

新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.2(条件つき確率と確率の乗法定理)、確率と数列の問38の解答を求めてみる。

n回の操作後に、白球がq個、黒球がr個増えてる確率は、

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{q}{2 + (q - 1)} \cdot \frac{1}{2 + q} \cdot \frac{2}{3 + q} \cdot \dots \cdot \frac{r}{2 + (n - 1)} \cdot \frac{n!}{q! r!} \\ = \frac{q! r!}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{q! r!} \\ = \frac{1}{n + 1} \end{array}

よって、n回の操作後、壺の中に白球が0個、1個、2個、... 、n個増加している確率は

\frac{1}{n + 1}