確からしさをみる - 確率条件つき確率と確率の乗法定理独立事象と従属事象トランプ、さいころ、硬貨

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新装版数学読本4 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第16章(確からしさをみる - 確率)、16.2(条件つき確率と確率の乗法定理)、独立事象と従属事象の問30の解答を求めてみる。

問 30

\begin{array}{l} P (A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \\ P (B) = \frac{3 \cdot 4}{52} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13} \\ P (A \cap B) = \frac{3}{52} \\ P (A) \cdot P (B) = \frac{13}{52} \cdot \frac{3}{13} = \frac{3}{52} \end{array}

よって、

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

ゆえに、事象Aと事象Bは独立である。

\begin{array}{l} P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ P (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ P (A \cap B) = \frac{1}{6} \\ P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \\ P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) \end{array}

よって独立。

\begin{array}{l} P (A) = \frac{1}{2} \\ P (B) = \frac{1}{2} \\ P (A \cap B) = \frac{1}{4} \\ P (A) P (B) = \frac{1}{4} \end{array}

よって、独立。

\begin{array}{l} P (A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \\ P (B) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} + \frac{39}{52} \cdot \frac{13}{51} \\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{17} + \frac{1}{4} \cdot \frac{13}{17} \\ = \frac{17}{68} \\ = \frac{1}{4} \\ P (A \cap B) = \frac{13}{52} \cdot \frac{13}{51} = \frac{1}{4} \cdot \frac{13}{51} = \frac{52}{201} \\ P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{16} \end{array}

よって従属。