整数 素数 Euclidの第2定理の証明、素数の個数、素因数、合成数
親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第2章(素数)の問6の解答を求めてみる。
任意の素数をpに対して、p以下の素数すべての集合をPとする。
このとき、
はpより大きい。
nが素数の場合、 n自身がpより大きい素数なので、pより大きい素数が存在する。
nが合成数の場合、ある素因数qが存在する。
また、p以下の素数はnを割り切ることはできない。
よって、
ゆえにpより大きい素数が存在する。
以上より、素数は無数個ある。
（証明終）