整数素数 1ではない正整数、立方根、素因数、積

学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第2章(素数)の問3の解答を求めてみる。

aを1ではない正整数とする。

aが三つ以上の素数の積とする。

\begin{array}{l} n \geq 3 \\ a = \prod_{i = 1}^{n} p_{i}^{k_{i}} \\ k_{i} \in ℕ \ {0} \\ i \neq j \Rightarrow p_{i} \neq p_{j} \end{array}

このとき、a の素因数が

\sqrt[3]{a}

以下の素因数を持たないと仮定すると、

\begin{array}{l} a = p_{1} p_{2} p_{3} p_{1}^{k_{1} - 1} p_{2}^{k_{1} - 1} p_{3}^{k_{2} - 1} \prod_{i = 4}^{n} p_{i}^{k_{i}} \\ \geq p_{1} p_{2} p_{3} \\ > \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{a} \\ = a \end{array}

となり矛盾。

よって、

\sqrt[3]{a}

以下の素因数をもつ。

ゆえに、対偶を考えれば、aが

\sqrt[3]{a}

以下の素因数を持たないならば、aは素数であるか、二つの素数の積である。

（証明終）