数学のブログ

整数素数素因数分解定理、帰納法、一意性

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体
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学習環境

親切な代数学演習新装2版―整数・群・環・体 (加藤明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第2章(素数)の問8の解答を求めてみる。

aを2以上の整数とする。

aが素数の場合は明らか。

aが合成数の場合、ある2以上の整数 b、cが存在して、

a = b c

が成り立つ。

このb、 cについて、

b < a \land c < a

よって、帰納的に、 aは素因数の積に分解できる。

aの素因数による分解を

a = \prod_{i = 1}^{n} p_{i} = \prod_{j = 1}^{m} q_{j}

とする。

p_{i}, q_{i}

は素数。

このとき、任意の

p_{i}

に対して、

p_{i} | a

すなわち

p_{i} | \prod_{j = 1}^{m} q_{j}

よって、あるkが存在して、

p_{i} | q_{k}

p_{i}, q_{k}

ともに素数なので、

p_{i} = q_{k}

よって、素因数の順序を度外視して、一意的に分解される。