数学のブログ

整数 素数 正整数が素数であることの必要十分条件、素因数、平方根、合成数、背理法

親切な代数学演習 新装2版―整数・群・環・体 (加藤 明史(著)、現代数学社)の第Ⅰ部(整数)、第2章(素数)の問1の解答を求めてみる。

aを1ではない正整数とする。

a ∈ ℤ a > 1

aが素数ならば、 a未満の素因数を持たない。

また、

a < a

なので、

a

以下の素因数を持たない。

逆に aが

a

以下の素因数を持たない場合。

aは素数ではない、すなわち合成数と仮定すると、ある素数p、正の整数bが存在して、

a = p q

仮定より、

p > a

なので、

a = p b > a a = a

よって矛盾。

ゆえに、 aは素数である。

（証明終）