数列と関数数列の極限数列の極限不等式、正の実数、累乗根、はさみうちの原理

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.2(数列の極限)、b(数列の極限)の問20の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} {(1 + \frac{a}{n})}^{n} \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(\frac{a}{n})}^{k} \\ \geq \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) {(\frac{a}{n})}^{k} \\ = 1 + n \cdot \frac{a}{n} \\ = 1 + a \end{array}

a \geq 1

の場合、

\begin{array}{l} 1 \leq a \leq {(1 + \frac{a}{n})}^{n} \\ 1 = \sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{a} \leq 1 + \frac{a}{n} \end{array}

で、

\lim_{n \to \infty} 1 = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{a}{n}) = 1

なので、

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1

である。

0 < a < 1

のとき、

\frac{1}{a} \geq 1

なので、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{a}} = 1 \\ \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}} = 1 \\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \end{array}

（証明終）

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot[Evaluate[Table[a^(1/n), {a, 1, 10}]], {n, 1, 10},
     PlotLegends -> "Expressions"]