数学のブログ

数列と関数 実数の基本的な性質 数列の上限、下限 指数関数、三角関数(正弦)

現代数学への入門 微分と積分1 初等関数を中心に (青本 和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.3(実数の基本的な性質)、b(数列の上限、下限)の問24の解答を求めてみる。

1

0 < c < 1

のとき、 上限は

sup c n - c - n c n + c - n = sup c n + c - n - 2 c - n c n + c - n = sup ( 1 - 2 c - n c n + c - n ) = sup ( 1 - 2 c 2 n + 1 ) = 1 - 2 c 2 + 1 = c 2 + 1 - 2 c 2 + 1 = c 2 - 1 c 2 + 1

下限は

inf a n = - 1

また、

c = 1

のとき、

a n = 1 - 1 1 + 1 = 0

なので、

sup a n = inf a n = 0

また、

c > 1

の場合、

sup a n = 1 inf a n = 1 - 2 c 2 + 1 = c 2 + 1 - 2 c 2 + 1 = c 2 - 1 c 2 + 1

2

max n ∈ ℕ sin n π 3 = 1 min n ∈ ℕ sin n π 3 = - 1

なので、

sup a n = 1 inf a n = - 1

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

ListPlot[
    {Table[
        ((1/2)^n - (1/2)^(-n))/((1/2)^n+(1/2)^(-n)),
        {n, 1, 10}
     ],
     Table[
         ((1/2)^2-1)/((1/2)^2+1),
         {n, 1, 10}
     ],
     Table[-1, {n, 1, 10}]
    },
    Joined -> True
]
Output
ListPlot[
    {Table[
        ((1)^n - (1)^(-n))/((1)^n+(1)^(-n)),
        {n, 1, 10}
     ],
     Table[0, {n, 1, 10}]
    },
    Joined -> True
]
Output
ListPlot[
    {Table[
        ((2)^n - (2)^(-n))/((2)^n+(2)^(-n)),
        {n, 1, 10}
     ],
     Table[1, {n, 1, 10}],
     Table[
         ((2)^2-1)/((2)^2+1),
         {n, 1, 10}
     ]
    },
    Joined -> True
]
Output