数列と関数実数の基本的な性質単調数列の収束漸化式、有理数、単調増加列、単調減少列、不等式、極限、実数

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.3(実数の基本的な性質)、a(単調数列の収束)の問23の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2 k - 1} \\ b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{4 k - 3} - \frac{1}{4 k - 1}) \\ c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{4 k - 3} - \frac{1}{4 k - 1}) + \frac{1}{4 n - 1} \end{array}

とおく。

このとき、

\begin{array}{l} b_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{4 k - 3} - \frac{1}{4 k - 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{4 k - 3} - \frac{1}{4 k - 1}) + \frac{1}{4 n - 3} - \frac{1}{4 n - 1} \\ \geq b_{n} \\ c_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\frac{1}{4 k - 3} - \frac{1}{4 k - 1}) + \frac{1}{4 (n + 1) - 1} \\ = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{4 k - 3} - \frac{1}{4 k - 1}) + \frac{1}{4 n + 1} - \frac{1}{4 n + 3} + \frac{1}{4 n + 3} \\ \leq c_{n} \end{array}

よって、

b_{n} \leq b_{n + 1} \leq c_{n + 1} \leq c_{n}

また、

\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (c_{n} - b_{n}) \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4 n - 1} \\ = 0 \end{array}

よって、

\lim_{n \to \infty} a_{n}

は収束する。

（証明終）