数列と関数実数の基本的な性質単調数列の収束漸化式、単調増加、単調減少、差、二次方程式、符号

学習環境

現代数学への入門微分と積分1 初等関数を中心に (青本和彦(著)、岩波書店)の第1章(数列と関数)、1.3(実数の基本的な性質)、a(単調数列の収束)の問22の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} a_{n} - a_{n - 2} \\ = 1 + \frac{1}{a_{n - 1}} - a_{n - 2} \\ = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{a_{n - 2}}} - a_{n - 2} \\ = 1 + \frac{a_{n - 2}}{a_{n - 2} + 1} - a_{n - 2} \\ = \frac{a_{n - 2} + 1 + a_{n - 2} - a_{n - 2}^{2} - a_{n - 2}}{a_{n - 2} + 1} \\ = \frac{- a_{n - 2}^{2} + a_{n - 2} + 1}{a_{n - 2} + 1} \end{array}

\begin{array}{l} - a_{n - 2}^{2} + a_{n - 2} + 1 = 0 \\ a_{n - 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{- 2} \\ = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}

\begin{array}{l} a_{1} = 1 < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ a_{2} = 2 > \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{array}

よって、 nが奇数の場合、

a_{n} - a_{n - 2} \geq 0

nが偶数の場合、

a_{n} - a_{n - 2} \geq 0

すなわち、

b_{1} \leq b_{2} \leq b_{3} \leq \dots

となり単調増加、

c_{1} \geq c_{2} \geq c_{3} \geq \dots

となり単調減少である。

（証明終）