数学のブログ

固有値と2次形式 基底変換、行列の固有値 3つのベクトルで張られる平行六面体の体積、線形変換、行列式、倍数

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.1(基底変換、行列の固有値)、問題4の解答を求めてみる。

ベクトル a、 b、 c で張られる平行六面体の体積は、

| det ( a , b , c ) |

問題の線形変換に対応する行列をAとおくと、

L ( a ) = A a L ( b ) = A b L ( c ) = A c

よって、 ベクトル

L ( a ) , L ( b ) , L ( c )

で張られる平行六面体の体積は

| det ( L ( a ) , L ( b ) , L ( c ) ) | = | det ( A a , A b , A c ) | = | det ( A ( a , b , c ) ) | = | det A | | det ( a , b , c ) | = | det L | | det ( a , b , c ) |