数学のブログ

固有値と2次形式基底変換、行列の固有値 3つのベクトルで張られる平行六面体の体積、線形変換、行列式、倍数

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.1(基底変換、行列の固有値)、問題4の解答を求めてみる。

ベクトル a、 b、 c で張られる平行六面体の体積は、

| \det (a, b, c) |

問題の線形変換に対応する行列をAとおくと、

\begin{array}{l} L (a) = A a \\ L (b) = A b \\ L (c) = A c \end{array}

よって、ベクトル

L (a), L (b), L (c)

で張られる平行六面体の体積は

\begin{array}{l} | \det (L (a), L (b), L (c)) | \\ = | \det (A a, A b, A c) | \\ = | \det (A (a, b, c)) | \\ = | \det A | | \det (a, b, c) | \\ = | \det L | | \det (a, b, c) | \end{array}