固有値と2次形式基底変換、行列の固有値複素数、固有ベクトル、対角化、相似、逆行列、行列式、逆数、余因子行列

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.1(基底変換、行列の固有値)、問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} P^{- 1} = \frac{1}{\det P} [\begin{matrix} i & - 1 \\ i & 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{i + i} [\begin{matrix} i & - 1 \\ i & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{i}{2} \end{matrix}] \end{array}

よって、

\begin{array}{l} P^{- 1} A P \\ = [\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{i}{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ - i & i \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} \frac{a}{2} + \frac{b}{2} i & - \frac{b}{2} + \frac{a}{2} i \\ \frac{a}{2} - \frac{b}{2} i & - \frac{b}{2} - \frac{a}{2} i \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ - i & i \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a + b i & 0 \\ 0 & a - b i \end{matrix}] \end{array}