数学のブログ

固有値と2次形式 基底変換、行列の固有値 平行四辺形の面積、線形変換、行列式、倍数

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.1(基底変換、行列の固有値)、問題3の解答を求めてみる。

問題の線形写像に対応する行列をAとおくと、

L ( a ) = A a L ( b ) = A b

a、bで張られる平行四平形の面積は、

| det ( a , b ) |

また、ベクトル

L ( a ) , L ( b )

で張られる平行四辺形の面積は

| det ( L ( a ) , L ( b ) ) | = | det ( A a , A b ) | = | det ( A ( a , b ) ) | = | det A | | det ( a , b ) | = | det L | | det ( a , b ) |