数学のブログ

固有値と2次形式基底変換、行列の固有値平行四辺形の面積、線形変換、行列式、倍数

解析入門(中)
(松坂和夫数学入門シリーズ 5)
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学習環境

解析入門(中) (松坂和夫数学入門シリーズ 5) (松坂和夫 (著)、岩波書店)の第18章(固有値と2次形式)、18.1(基底変換、行列の固有値)、問題3の解答を求めてみる。

問題の線形写像に対応する行列をAとおくと、

\begin{array}{l} L (a) = A a \\ L (b) = A b \end{array}

a、bで張られる平行四平形の面積は、

| \det (a, b) |

また、ベクトル

L (a), L (b)

で張られる平行四辺形の面積は

\begin{array}{l} | \det (L (a), L (b)) | \\ = | \det (A a, A b) | \\ = | \det (A (a, b)) | \\ = | \det A | | \det (a, b) | \\ = | \det L | | \det (a, b) | \end{array}