数学のブログ

グリーンの定理 グリーンの定理の標準形 正方形の周、円、半径、楕円

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、1(グリーンの定理の標準形)の練習問題1の解答を求めてみる。

a

C y 2 dx + x dy = R ( 1 - 2 y ) dx dy = 0 2 0 2 ( 1 - 2 y ) dx dy = 0 2 2 ( 1 - 2 y ) dy = [ 2 y - 2 y 2 ] 0 2 = 4 - 8 = - 4

b

C y 2 dx + x dy = - 1 1 - 1 1 ( 1 - 2 y ) dx dy = - 1 1 ( 1 - 2 y ) 2 dy = [ 2 y - 2 y 2 ] - 1 1 = 4

c

C y 2 dx + x dy = x 2 + y 2 = 4 ( 1 - 2 y ) dx dy = 2 2 π = 4 π

d

C y 2 dx + x dy = x 2 + y 2 = 1 ( 1 - 2 y ) dx dy = π

e

C y 2 dx + x dy = - 2 2 - 2 2 ( 1 - 2 y ) dy dx = - 2 2 [ y - y 2 ] - 2 2 dx = 4 - 2 2 dy = 4 · 4 = 16

f

C y 2 dx + x dy = x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( 1 - 2 y ) dx dy = π a b