グリーンの定理グリーンの定理の標準形時計と反対方向に向きづけられた閉曲線、領域、内部、ラプラスの方程式

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、1(グリーンの定理の標準形)の練習問題5の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{C} \frac{\partial f}{\partial y} dx - \frac{\partial f}{\partial x} dy \\ = \int \int_{A} (- \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}) dx dy \\ = - \int \int_{A} (\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}) d x dy \\ = - \int \int_{A} 0 dx dy \\ = 0 \end{array}