グリーンの定理グリーンの定理の標準形放物線、直線、正方形、ベクトル場、積分

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、1(グリーンの定理の標準形)の練習問題6の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{C} (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) - \int_{C_{1}} (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) \\ = \int \int_{A} (\frac{(x^{2} + y^{2}) - x \cdot 2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - \frac{- (x^{2} + y^{2}) - (- y) \cdot 2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}) dx dy \\ = \int \int_{A} 0 d x dy \\ = 0 \end{array}

よって、

\begin{array}{l} \int_{C} (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) = \int_{C_{1}} (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) \\ = 2 π \end{array}

aと同様。