数学のブログ

グリーンの定理 グリーンの定理の標準形 三角形、四角形

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、1(グリーンの定理の標準形)の練習問題3の解答を求めてみる。

a

∫ C y dx + x 2 dy = ∬ A ( 2 x - 1 ) dy dx = ∫ 0 1 ∫ x - 1 - x + 1 ( 2 x - 1 ) dy dx + ∫ - 1 0 ∫ - x - 1 x + 1 ( 2 x - 1 ) dy dy = ∫ 0 1 ( 2 x - 1 ) ( ( - x + 1 ) - ( x - 1 ) ) dx + ∫ - 1 0 ( 2 x - 1 ) ( ( x + 1 ) - ( - x - 1 ) ) dx = ∫ 0 1 ( 2 x - 1 ) ( - 2 x + 2 ) dx + ∫ - 1 0 ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 2 ) dx = - 2 ∫ 0 1 ( 2 x - 1 ) ( x - 1 ) dx + 2 ∫ - 1 0 ( 2 x - 1 ) ( x + 1 ) dx = - 2 ∫ 0 1 ( 2 x 2 - 3 x + 1 ) dx + 2 ∫ - 1 0 ( 2 x 2 + x - 1 ) dx = - 2 [ 2 3 x 3 - 3 2 x 2 + x ] 0 1 + 2 [ 2 3 x 3 + 1 2 x 2 - x ] - 1 0 = - 2 ( 2 3 - 3 2 + 1 ) + 2 ( 2 3 - 1 2 - 1 ) = - 2 · 4 - 9 + 6 6 + 2 · 4 - 3 - 6 6 = - 1 3 - 5 3 = - 2

b

∫ C y dx + x 2 dy = ∬ A ( 2 x - 1 ) dy dx = ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x ( 2 x - 1 ) dy dx = ∫ 0 2 ( 2 x - 1 ) · 1 2 x dx = ∫ 0 2 ( x 2 - 1 2 x ) dx = [ 1 3 x 3 - 1 4 x 2 ] 0 2 = 8 3 - 1 = 5 3

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[
    2x-1,
    {x, 0, 1},
    {y, x-1, -x+1},
    AxesLabel -> Automatic
]
Output
Plot3D[
    2x-1,
    {x, 0, 2},
    {y, 0, x/2},
    AxesLabel -> Automatic
]
Output