数学のブログ

グリーンの定理 グリーンの定理の標準形 三角形、三角関数(正弦)、累乗

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第8章(グリーンの定理)、1(グリーンの定理の標準形)の練習問題2の解答を求めてみる。

a

∫ C y 2 dy - x dy = ∬ A ( - 1 - 2 y ) dy dx = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ( - 1 - 2 y ) dy dx = ∫ 0 1 [ - y - y 2 ] 0 1 - x dx = ∫ 0 1 ( - 1 + x - 1 + 2 x - x 2 ) dx = ∫ 0 1 ( - x 2 + 3 x - 2 ) dx = [ - 1 3 x 3 + 3 2 x - 2 x ] 0 1 = - 1 3 + 3 2 - 2 = - 2 + 9 - 12 6 = - 5 6

b

∫ C ( 1 + y 2 ) dx + y dy = ∫ 0 π ∫ sin x 2 sin x ( 0 - 2 y ) dy dx = ∫ 0 π [ - y 2 ] sin x 2 sin x dx = ∫ 0 π ( - 4 sin 2 x + sin 2 x ) dx = - 3 ∫ 0 π sin 2 x dx = - 3 · 2 ∫ 0 π 2 sin 2 x dy = - 6 · π 2 · 1 2 = - 3 2 π

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[
    (-1-2y),
    {x, 0, 1},
    {y, 0, 1-x},
    AxesLabel -> Automatic
]
Output
Plot3D[
    -2y,
    {x, 0, Pi},
    {y, Sin[x], 2 Sin[x]},
    AxesLabel -> Automatic
]
Output