2重積分極座標距離、平方、体積、三角関数(正弦)、半径、円盤、方程式、累乗

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題2の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \iint_{x^{2} + {(y - 1)}^{2} \leq 1} (x^{2} + y^{2}) dy dx \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 \sin θ} ({(r \cos θ)}^{2} + {(r \sin θ)}^{2}) r d r d θ \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 \sin θ} r^{3} d r d θ \\ = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} {[r^{4}]}_{0}^{2 \sin θ} d θ \\ = \frac{16}{4} \int_{0}^{π} \sin^{4} θ d θ \\ = 8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} θ d θ \\ = 8 \cdot \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2} \\ = \frac{3}{2} π \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

RegionPlot[x^2+(y-1)^2 <= 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

PolarPlot[2 Sin[theta], {theta, 0, Pi}]

Plot3D[x^2+y^2, {x, -1, 1}, {y, 0, 2}]