数学のブログ

2重積分極座標指数関数、三角関数(正弦と余弦)、半径

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、3(極座標)の練習問題1の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} e^{r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ} r d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r e^{r^{2}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} {[\frac{1}{2} e^{r^{2}}]}_{0}^{1} d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (e - 1) d θ \\ = \frac{1}{2} (e - 1) {[θ]}_{0}^{2 π} \\ = (e - 1) π \end{array}

コード、入出力結果(Wolfram Language, Jupyter Notebook)

Plot3D[Exp[x^2+y^2], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}]

Output