数学のブログ

2重積分 反復積分 領域、絶対値、累乗、三角関数(正弦と余弦)、指数関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、2(反復積分)の練習問題3の解答を求めてみる。

a

∫ 0 π ∫ 0 x x cos ( x + y ) dy dx = ∫ 0 π x [ sin ( x + y ) ] 0 x dx = ∫ 0 π x ( sin 2 x - sin x ) dx = [ x ( - cos 2 x 2 + cos x ) ] 0 π + ∫ 0 π ( cos ( 2 x ) 2 - cos x ) dx = π ( - 1 2 - 1 ) = - 3 2 π

b

∫ - 1 0 ∫ - x - 1 x + 1 e x + y dy dx + ∫ 0 1 ∫ x - 1 - x + 1 e x + y dy dx = ∫ - 1 0 [ e x + y ] - x - 1 x + 1 dx + ∫ 0 1 [ e x + y ] x - 1 - x + 1 dx = ∫ - 1 0 ( e 2 x + 1 - e - 1 ) dx + ∫ 0 1 ( e - e 2 x - 1 ) dx = [ 1 2 e 2 x + 1 - e - 1 x ] - 1 0 + [ e x - 1 2 e 2 x - 1 ] 0 1 = 1 2 e - 1 2 e - 1 - e - 1 + e - 1 2 e + 1 2 e - 1 = e - e - 1

c

∫ 0 π ∫ 0 sin x ( x 2 - y 2 ) dy dx = ∫ 0 π [ x 2 y - 1 3 y 3 ] 0 sin x dx = ∫ 0 π ( x 2 sin x - 1 3 sin 3 x ) dx = ∫ 0 π x 2 sin x dx - 2 3 ∫ 0 π 2 sin 3 x dx = [ - x 2 cos x ] 0 π + 2 ∫ 0 π x cos x dx - 2 3 · 2 3 = π 2 + 2 ( [ x sin x ] 0 π - ∫ 0 π sin x dx ) - 4 9 = π 2 - 4 - 4 9 = π 2 - 40 9

d

問題の三角形の2つの辺を含む2つの直線について。

y - 2 = 3 2 3 2 ( x - 1 ) y = x + 1 y + 1 = - 3 2 3 2 ( x - 1 ) y = - x

求める積分。

∫ - 1 2 1 ∫ - x x + 1 ( x 2 + y ) dy dx = ∫ - 1 2 1 [ x 2 y + 1 2 y 2 ] - x x + 1 dx = ∫ - 1 2 1 ( ( x 2 ( x + 1 ) + 1 2 ( x + 1 ) 2 ) - ( - x 3 + 1 2 x 2 ) ) dx = ∫ - 1 2 1 ( x 3 + x 2 + 1 2 x 2 + x + 1 2 + x 3 - 1 2 x 2 ) dx = ∫ - 1 2 1 ( 2 x 3 + x 2 + x + 1 2 ) dx = [ 1 2 x 4 + 1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 1 2 x ] - 1 2 1 = 1 2 ( 1 - 1 16 ) + 1 3 ( 1 + 1 8 ) + 1 2 ( 1 - 1 4 ) + 1 2 ( 1 + 1 2 ) = 15 32 + 3 8 + 3 8 + 3 4 = 15 + 24 + 24 32 = 63 32