数学のブログ

2重積分 反復積分 領域、放物線、累乗、領域

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、2(反復積分)の練習問題4の解答を求めてみる。

a

交点。

x 2 = x 3 x 2 ( x - 1 ) = 0 x = 0 , 1

よって求める領域上での積分は、

∫ 0 1 ∫ x 3 x 2 x dy dx = ∫ 0 1 x ( x 2 - x 3 ) dx = [ 1 4 x 4 - 1 5 x 5 ] 0 1 = 1 4 - 1 5 = 1 20

b

∫ 0 1 ∫ x 3 x 2 y dy dx = ∫ 0 1 [ 1 2 y 2 ] x 3 x 2 d x = 1 2 ∫ 0 1 ( x 4 - x 6 ) dx = 1 2 [ 1 5 x 5 - 1 7 x 6 ] 0 1 = 1 2 ( 1 5 - 1 7 ) = 1 2 , 2 35 = 1 35

c

∫ 0 2 ∫ x 2 x x 2 dy dx = ∫ 0 2 x 2 ( 2 x - x ) dx = ∫ 0 2 x 3 dx = 1 4 [ x 4 ] 0 2 = 1 4 · 16 = 4

コード、入出力結果(Wolfram Language)

Plot3D[x, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
Output
Plot[{x^2, x^3}, {x, 0, 1}]
Output
Plot3D[y, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
Output
Plot3D[x^2, {x, 0, 2}, {y, 0, 2}]
Output
Plot[{x, 2x}, {x, 0, 2}]
Output