2重積分反復積分領域、円、積

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、2(反復積分)の練習問題9の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} x y dx dy \\ = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{2} {[x^{2}]}_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} y dy \\ = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} (1 - y^{2}) y dy \\ = \frac{1}{2} {[\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{4} y^{4}]}_{\frac{1}{2}}^{1} \\ = \frac{1}{4} {[y^{2} - \frac{1}{2} y^{4}]}_{\frac{1}{2}}^{1} \\ = \frac{1}{4} ((1 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16})) \\ = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{32}) \\ = \frac{1}{4} \cdot \frac{16 - 8 + 1}{32} \\ = \frac{9}{128} \end{array}