2重積分反復積分領域、三角関数(正弦と余弦)、累乗、部分積分法

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、2(反復積分)の練習問題11の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\sin x} (x - y) dy dx \\ = \int_{0}^{π} {[x y - \frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{\sin x} dx \\ = \int_{0}^{π} (x \sin x - \frac{1}{2} \sin^{2} x) dx \\ = \int_{0}^{π} x \sin x dx - \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x dx \\ = {[- x \cos x]}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos x dx - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ = π + \frac{π}{4} \\ = \frac{3}{4} π \end{array}