数学のブログ

2重積分 反復積分 積分区域(積分領域)の図示、絶対値、三角関数(正弦と余弦)、指数関数

続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第7章(2重積分)、2(反復積分)の練習問題6の解答を求めてみる。

a

∫ 1 2 ∫ x 2 x 3 x dy dx = ∫ 1 2 x [ y ] x 2 x 3 dx = ∫ 1 2 ( x 4 - x 3 ) dx = [ 1 5 x 5 - 1 4 x 4 ] 1 2 = 1 5 ( 32 - 1 ) - 1 4 ( 16 - 1 ) = 31 5 - 17 4 = 124 - 85 20 = 49 20

積分区域の図示。

b

∫ 0 2 ∫ 1 3 | x - 2 | sin y dx dy = ∫ 0 2 ( ∫ 1 2 ( 2 - x ) dx + ∫ 2 3 ( x - 2 ) dx ) sin y dy = ∫ 0 2 ( [ 2 x - 1 2 x 2 ] 1 2 dx + [ 1 2 x 2 - 2 x ] 2 3 ) sin y dy = ∫ 0 2 ( 2 - 3 2 + 5 2 - 2 ) sin y dy = [ - cos y ] 0 2 = - cos 2 + 1

c

∫ 0 π 2 ∫ - y y sin x dx dy = ∫ 0 π 2 [ - cos x ] - y y dy = ∫ 0 π 2 ( - cos y + cos ( - y ) ) dy = ∫ 0 π 2 ( - cos y + cos y ) dy = 0

d

∫ - 1 1 ∫ 0 | x | dy dx = ∫ - 1 0 ∫ 0 - x dy dx + ∫ 0 1 ∫ 0 x dy dx = ∫ - 1 0 [ y ] 0 - x dx + ∫ 0 1 [ y ] 0 x dx = ∫ - 1 0 ( - x ) dx + ∫ 0 1 x dx = - 1 2 [ x 2 ] - 1 0 + 1 2 [ x 2 ] 0 1 = 1 2 + 1 2 = 1

e

∫ 0 π 2 ∫ 0 cos y x sin y dx dy = ∫ 0 π 2 1 2 [ x 2 ] 0 cos y sin y dy = 1 2 ∫ 0 π 2 cos 2 y sin y dy = 1 2 ∫ 0 π 2 ( sin y - sin 3 y ) dy = 1 2 ( [ - cos y ] 0 π 2 - 2 3 ) = 1 2 ( 1 - 2 3 ) = 1 2 · 1 3 = 1 6

f

∫ 0 1 ∫ 1 e x ( x + y ) dy dx = ∫ 0 1 [ x y + 1 2 y 2 ] 1 e x dx = ∫ 0 1 ( x e x + 1 2 e 2 x - x - 1 2 ) dx = [ x e x ] 0 1 - ∫ 0 1 e x dx + 1 4 [ e 2 x ] 0 1 - 1 2 [ x 2 ] 0 1 - 1 2 [ x ] 0 1 = e - ( e - 1 ) + 1 4 ( e 2 - 1 ) - 1 2 - 1 2 = 1 + 1 4 e 2 - 1 4 - 1 = 1 4 e 2 - 1 4

g

∫ - 3 2 ∫ 0 y 2 ( x 2 + y ) dx dy = ∫ - 3 2 [ 1 3 x 3 + x y ] 0 y 2 dy = ∫ - 3 2 ( 1 3 y 6 + y 3 ) dy = 1 3 · 1 7 [ y 7 ] - 3 2 + 1 4 [ y 4 ] - 3 2 = 1 21 ( 128 + 2187 ) + 1 4 ( 16 - 81 ) = 2315 21 - 65 4 = 9260 - 1365 84 = 7895 84