2次の行列と行列式 2次の行列行列の演算規則可逆

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、1.1(2次の行列)、c(行列の演算規則)の問4の解答を求めてみる。

\begin{array}{l} [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} b & 0 \\ d & 0 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ a & b \end{matrix}] \\ a = d \\ b = 0 \end{array}

また、

\begin{array}{l} [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & a \\ 0 & c \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix} c & d \\ 0 & 0 \end{matrix}] \\ a = d \\ c = 0 \end{array}

また、

\begin{array}{l} [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] = [\begin{matrix} a e & a f \\ a g & a h \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}] = [\begin{matrix} a e & a f \\ a g & a h \end{matrix}] \end{array}

よって、求める行列は

A = [\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix}]

aは任意。