2次の行列と行列式複素数と複素行列実部と虚部、共役な複素数、和、積、絶対値、等式と不等式

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行列と行列式 (現代数学への入門) (砂田利一(著)、岩波書店)の第1章(2次の行列と行列式)、1.3(複素数と複素行列)、b(複素数)の問9の解答を求めてみる。

複素数 z 、 w を

\begin{array}{l} z = a + b i \\ w = c + d i \\ a, b, c, d \in ℝ \end{array}

とおく。

\begin{array}{l} z \bar{z} \\ = (a + b i) (a - b i) \\ = a^{2} + b^{2} \\ = {(\sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2} \\ = {| z |}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} | z w | \\ = | (a + b i) (c + d i) | \\ = | (a c - b d) + (a d + b c) i | \\ = \sqrt{{(a c - b d)}^{2} + {(a d + b c)}^{2}} \\ = \sqrt{{(a c)}^{2} + {(b d)}^{2} + {(a d)}^{2} + {(b c)}^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} (c^{2} + d^{2}) + b^{2} (c^{2} + d^{2})} \\ = \sqrt{(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})} \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}} \\ = | z | | w | \end{array}

\begin{array}{l} {| z + w |}^{2} \\ = (z + w) \bar{(z + w)} \\ = (z + w) (\bar{z} + \bar{w}) \\ = z \bar{z} + z \bar{w} + \bar{z} w + w \bar{w} \\ = {| z |}^{2} + z \bar{w} + \bar{z} w + {| w |}^{2} \end{array}

また、

\begin{array}{l} {(| z | + | w |)}^{2} \\ = {| z |}^{2} + {| w |}^{2} + 2 | z | | w | \end{array}

よって、

\begin{array}{l} {(| z | + | w |)}^{2} - {| z + w |}^{2} \\ = 2 | z | | w | - (z \bar{w} + \bar{z} w) \\ = 2 | z | | \bar{w} | - (z \bar{w} + \bar{z \bar{w}}) \\ = 2 | z \bar{w} | - 2 Re (z \bar{w}) \\ = 2 (| z \bar{w} | - Re (z \bar{w})) \\ \geq 0 \end{array}

ゆえに、

| z + w | \leq | z | + | w |

\begin{array}{l} 2 ({| z |}^{2} + {| w |}^{2}) - {| z + w |}^{2} \\ = 2 (z \bar{z} + w \bar{w}) - (z + w) \bar{(z + w)} \\ = 2 z \bar{z} + 2 w \bar{w} - (z + w) (\bar{z} + \bar{w}) \\ = 2 z \bar{z} + 2 w \bar{w} - z \bar{z} - z \bar{w} - \bar{z} w - w \bar{w} \\ = z \bar{z} + w \bar{w} - z \bar{w} - z \bar{w} \\ = (z - \bar{w}) (\bar{z} - w) \\ = (z - \bar{w}) \bar{(z - \bar{w})} \\ = {| z - \bar{w} |}^{2} \\ \geq 0 \end{array}

よって、

{| z + w |}^{2} \leq 2 (| z | + | w |)